データの順序効果，例えば，薬剤A，Bがあったとき，
A→Bと投与する場合，B→Aと投与する場合を考えたとき，
A→Bと投与したほうが効果があるのか，
B→Aと投与したほうが効果があるのか，
それとも，どちらの場合でも同程度の効果なのか，
その順序に意味(効果)があるのかどうかを知りたい．

そのとき，順序効果が有意であるかを検定する．

順序効果を検定する方法としては，
データをどのように扱うかによって，
様々な検定方法が考えられると思う．

ここでは，主な検定方法として，カイ二乗検定と分散分析を考える．

カイ二乗検定はノンパラメトリック検定であり，
データの確率分布に正規性を仮定したり，
等分散性を仮定する必要が無いため，
非常に便利な検定手法である．

また，分散分析はF統計量を用いたパラメトリック検定であるが，
F統計量はロバストな統計量であることが知られているため，
パラメトリック検定でありながら，データが多少正規分布からずれていたり，
仮定がちょっと外れていたとしても，結果の妥当性を損なわない強みがある．

さて，これら2種類の検定を使って，順序効果を調べる方法だが，
これは，データのまとめ方によって使い分けることができる．

例えば，データを以下の表1のようにクロス集計表にまとめた場合，

表1　薬剤A, Bの投与順における効果

投与順	効果あり	効果なし	合計
A→B	20	10	30
B→A	12	18	30
合計	32	28	60

順序効果があるのか，有意検定にはカイ二乗検定を用いることができる．
具体的には，帰無仮説：「順序効果は無い(投薬順に差は無い)」と仮定して，
上記観測度数に対して，期待度数を算出し(下記表2)，

表2　薬剤A, Bの投与順における期待度数

投与順	効果あり	効果なし	合計
A→B	16 (30 x 32/60)	14 (30 x 28/60)	30
B→A	16 (30 x 32/60)	14 (30 x 28/60)	30
合計	32	28	60

観測度数(表1)と期待度数(表2)から，カイ二乗値を算出する．
カイ二乗値は以下の式で導出される．

今の場合だと，

カイ二乗値χ² = (20 – 16)² / 16 + (20 – 16)² / 16 + (10 – 14)² / 14 + (10 – 14)² / 14
　　　　　　　　　 = 30/7 = 4.2857……

というわけで，有意水準5 [%]として考えた場合，
カイ二乗分布表から，自由度１(行数-1 x 列数-1)のところを参照すると，
有意確率5 [%]に対応するカイ二乗値は「3.841」となる．

そのため，今回の例では，

　カイ二乗値χ² = 4.2857… > 3.841(p=0.05)

となるため，帰無仮説：「順序効果は無い」としたときの有意確率は，
有意水準5 %よりも小さく，棄却域に入るため，この帰無仮説は棄却される．
その結果，対立仮説「順序効果はある」が採択される．

つまり，上記例では，薬剤A，Bの投与順における順序効果が認められる．

これは，カイ二乗検定を用いた適合度検定とも呼ばれる．

データをある確率分布にあてはめたとき，
そのあてはまりのよさを検定する．
言い換えれば，データの分布にある仮定(理論分布)をおいたとき，
それが正しいかどうか(理論分布と同じかどうか)を検定する．

この他，カイ二乗検定は独立性検定にも用いられる．
けっきょくのところ，やっていることは適合度検定と同じなのだが，
仮定として，データが２変数であったとき，互いに独立かどうかを検定する．
これも，けっきょくのところはそれぞれの分布を仮定して，
それが同じである(独立でない)のか，異なる(独立である)のかを調べるため，
考え方もやっていることも，適合度検定も独立性検定もほとんど同じである．

そして，更に，有意であることが分かれば，「オッズ比」を用いることで，
その傾向や傾向の大きさなどを数値化することができる．

さて，もう一つ，順序効果を調べるには分散分析を用いる方法がある．
具体的には，A→BとB→Aというのをそれぞれ群と見なし，２群のデータに，
二元配置の分散分析(二元配置ANOVA)を用いるという方法である．

このとき，順序効果というのは，交互作用の結果によって判断できる．

これは，以下リンク先に具体例があるので，詳しくは述べない．

　めん羊生産物の有効利用及び活用方法に関する調査報告書 – 社団法人畜産技術協会

このように，データの見方によって，様々な検定手法，統計解析の方法が考えられる．

関連：
[1] 2元配置の分散分析(two-way layout ANOVA)について
[2] 勘違いしやすい確率・統計 – 精度99.9 [%]の検査で陽性の意味
[3] お薦め書籍「統計でウソをつく法」